Month: May 2017

    本文为第一系列的原创文章之六, 目的在于总结“Simulation” -Sheldon M.Ross一书中出现的模拟随机变量的方法.      在介绍了诸多的随机变量与模拟方法之后, 接下来介绍一个实际问题的数学模型: 保险模型, 并对这个模型尝试进行模拟.   Poisson Distribution and Poisson Process   在介绍保险模型前, 首先需要介绍的是泊松过程.    在本系列文章之二 泊松分布与二项分布模拟 中介绍了泊松分布, 其表达式为: \[p_i = P(x=i)=e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^i}{i!}, \quad i=0,1,2,…\]   泊松分布中并没有与时间相关的参数, 事实上, 离散或者连续的随机变量都与时间没有直接的关系, 事件可以在任何时候发生 (而考察的概率可以认为是从宇宙大爆炸到宇宙热寂这段时间的概率).     泊松分布中, 唯一需要确定的参数只有 \(\lambda\) . 在 泊松分布与二项分布模拟 中提到, 二项分布 \(\lambda\) 当 \(n\) 趋近于无穷大时, 二项分布近似为泊松分布, 而 \(\lambda = … Continue reading “统计模拟(六)——保险模型”

本文为第一系列的原创文章之五, 目的在于总结“Simulation” -Sheldon M.Ross一书中出现的模拟随机变量的方法. Copula 有关 Copula 的内容, 本书中介绍的不多. 在这里, 也仅仅只是对Copula以及其数学内容, 进行比较简单介绍. 类似于回归等方法, 当我们仅仅知道多个随机变量的边缘分布以及他们的相关系数时, 我们可以利用一个合适的 Copula 算子去模拟其联合分布. 这种模拟是不精确的, 是一种猜的过程, 但是会有其能发挥的作用. 以二维的 Copula 为例, 上述语言用数学语言描述就是: 已知 \(X\) 和 \(Y\) 的边缘分布 \(F\) 和 \(G\) : \begin{align*}P(X\leq x)&=F(x)\\\ P(Y\leq y)&=G(y)\end{align*} 根据已知的 \(X\) 和 \(Y\) 的相关知识, 找到合适的 \(C(x,\ y)\) , 使得 \[H(x,\ y) = C(F(x),\ G(y))\] 而 \(C(x,\ y)\) … Continue reading “统计模拟(五)——耦合算子”

本文为第一系列的原创文章之四, 目的在于总结“Simulation” -Sheldon M.Ross一书中出现的模拟随机变量的方法. Multivariate Normal Distribution 在上一篇文章中, Box-Muller 生成了一个二维的正态分布 \(X\) 与 \(Y\) , 二者相互独立, 但如果想要生成有相关性的多维(二维以及以上)变量, Box-Muller变换就有些捉襟见肘了. 在数学中, 假设向量 \(\overrightarrow{Z}=(Z_1,Z_2,Z_3,…,Z_m)^T\) 独立同分布于标准正态分布, 如果对于矩阵 \(A_{i\times j},\quad i=1,2,3,…,n,\quad j=1,2,3,…m\)与向量 \(\overrightarrow{\mu}=(\mu_1,\mu_2,\mu_3,…,\mu_n)^T\) 有: \[ \overrightarrow{X}=A\overrightarrow{Z}+\overrightarrow{\mu} \] 那么我们认为向量 \(\overrightarrow{X}=(X_1,X_2,X_3,…,X_n)^T\) 服从多维正态分布. 很明显易得: 向量 \(\overrightarrow{X}\) 的均值为 \(\overrightarrow{\mu}\) , 其协方差为 \begin{align*} Cov(X_i,\ X_j)&=Cov(\sum_{k=1}^{m} a_{ik}Z_k,\ \sum_{r=1}^{m} a_{jr}Z_r)\\\\ &=\sum_{k=1}^{m} \sum_{r=1}^{m} Cov(a_{ik}Z_k,\ a_{jr}Z_r))\\\ &=\sum_{k=1}^{m} \sum_{r=1}^{m} a_{ik} a_{jr} … Continue reading “统计模拟(四)——多维正态分布与乔列斯基分解”