本文为第一系列的原创文章之七, 目的在于总结“Simulation” -Sheldon M.Ross一书中出现的模拟随机变量的方法.
Random Walk Model
在股票市场中, 有一种非常经典的模型模拟股票的变动, 称为随机漫步模型 (Random Walk Model), 认为一定时间内股票价格的变化量是服从正态分布的. 随机漫步模型基于的理论是有效市场理论, 即对所有交易者而言, 所有的信息都是公开可获得的, 当前的价格已经充分消化了市场所有信息, 同时价格会对新信息快速做出反应. 这就是有效市场假说.
关于有效市场假说或者随机漫步模型的正确与否, 此处不做过多的讨论. 在本模型中, 给出对数级别的股价的随机漫步模型的公式:
\(S_n\) 表示第 \(n\) 天收盘时的股价
\[ S_n = S_0\ e^{X_1+…+X_n} \]
其中, \(X_1\) , \(X_2\) , … , \(X_n\) 是服从均值为 \(\mu\) , 方差为 \(\sigma^2\) 的正态分布序列. 这个模型假设股价每天都以固定的比例上涨或者下跌. 被称为”对数随机游走模型”.
如果我们取上侧分位数 \(\alpha=\mu+\large\frac{\sigma^2}{2}\) , (即相对于标准正态分布的 \(\large\frac{\sigma}{2}\)) , 我们假设每一股买入的价格为 \(K\) . 当 \(\alpha > 0\) 时, 也就是我们有一定的理由认为, 这支股应该会上涨, 那么策略就会很简单: 我们在期权到期时卖掉即可获得最大利润.
但是在 \(\alpha < 0 \) 时, 这支股可能会涨或者走跌, 亦可能震荡. 我们无法有一个完全最优的策略保证我们的收益最大, 或者损失最小. 书中提到了一个并非完美但是合理的策略: 当股票期权还有 \(m\) 天必须兑现时, (注: 美式的期权需在一定之间内兑现即可, 而不是特定的交易日兑现.) 此时如果对于任意的之后的 \(i\) 天, \(i = 1,2,…,m\), 如果此时的收益大于之后的收益, 那么我们认为此时应该兑现.
转化成数学语言, 我们假设 \(P\) 为股票期权兑现时的成交价. 还有 \(m\) 天必须进行兑现, 如果
\[ P_m>K\]
并且对于所有的 \(i=1,2,..,m\)
\[P_m>K+P_m e^{i\alpha}\Phi(\sigma \sqrt{i} + b_i) – K \Phi(b_i)\]
其中
\[ b_i=\frac{i\mu-log\large(\frac{K}{P_m})}{\sigma \sqrt{i}} \]
\(b_i\) 代表了从买入起, 一直到倒数第 \(m-i\) 天的涨幅倍数的期望, 并进行标准正态归一化的结果. \(\Phi(b_i)\) 表示涨幅倍数小于 \(b_i\) 的概率.
(本公式具体的含义还待进一步考量, 未完待续)
( \(\alpha < 0\) 不就是 \(\mu < 0\) 吗? 当一只股票看跌大于看涨你丫为毛还不卖, 还要关心方差希望能绝地反弹吗? … 这个模型后面公式的意义在哪??!)